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古典导数头上的乌云
一切的问题都出在这里：
无穷小量到底是不是0
符号 | 含义 | 特点 | 适用场景 |
自变量的有限变化量 | 有限、确定值 | 离散变化或实际计算 | |
因变量的有限变化量 | 真实变化量，由 确定 | 离散变化或实际计算 | |
自变量的微小变化量（无穷小） | 无限趋近于零，通常作为独立变量 | 连续变化，局部变化描述 | |
因变量的微小变化量（无穷小） | 由导数和 dxdxdx 决定，表示线性化近似变化量 | 连续变化，局部变化描述 |
看步骤来思考
- 曲线上任意两点引申出的直线称之为割线，横坐标的差值为
- 当足够无穷小的时候，这条线被称之为切线
- 那问题出现了：我们期望小到接近0，这样的话这条切线才够精确，
- 如果小到为0的话，这两个点就重合了，一个点也没办法确定为直线
- 如果不为0，是一个有限变化，一个确定的数字，那么总能找到比这个数字更小的值
- 既然出现矛盾了，我们就先给这个量一个符号，先不去深究
- 再看一个实际计算的问题：
- 求，我们都知道答案，就是，那怎么得来呢
- 好，重点看下一步
- 这里问题就出现了，先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略
- 所以，需要摒弃无穷小量这个概念，从极限这个概念出发，构建微积分
- 请注意这里的区别：
- 从无穷小量出发，我们用构建导数，也就是先有微分，再推导出导数
- 从极限出发，我们直接定义了导数，而不是从微分的角度推导
- 现在我们定义导数：
Reference
微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ? - 马同学的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/22199657/answer/115178055
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